泰勒公式的证明
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设pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-xo)^2+----+an(x-x0)^n(1)
让x=x0 a0=pn(x0)
对pn(x)两边同时求导 得
pn,x=a1+2a2(x-x0)+3a3(x-x0)^2+----+n(x-x0)^n-1(2)
对2 令x=xo 得a1=p,n(x0) 类推于是得到
2*1*a2= p,,n(x0)
----------------一般的
n(n-1)*------*3*2*1*an=pn(n)(x0)
从而得到系数公式
a0=pn(x0 ) a1=pn,(x0) a2=pn,,(x0)/2!
-------- an=pn(n)x0/n!
所以多项式pn(x)=f(x0)+f,(x0)/1!(x-x0)+---+fn(x0)/n!(x-x0)^n
所以以上就是泰勒公式的证明过程
利用泰勒公式可以证明e^x的泰勒展开
设f(x)=e^x f,x=e^x fn(x)=e^x
当x=0时候带入泰勒公式
e^x=1+x+x^2/2!+------+x^n/n!
同理f(x)=sinx f,x=cosx f,,x.=-sinx f,,,x=-cosx
f,,,,x=sinx 数学归纳法可知 fn(x)=sin(x+nπ/2)
fn(0)=sinnπ/2 f0=0 f,0=1 f,,0=0 f,,,0=-1f4(0)=0
所以sinx=x-x^3/3!+x^5/5!+----
又因为cosxdx =dsinx所以
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+----
同理可得tanx 的泰勒
tanx=sec^2x tanx^(2)=2sec^2xtanx
tan,,,x=6sec^4x-4sec ^2x 所以
tanx =x +1/3!x ^3+O (x ^3)
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