正交矩阵的特征值

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特征值一定是1或-1。

(λα，λα) = (Aα，Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα

= α^Tα = (α，α)

所以有 λ^2(α，α) = (α，α)

又因为 α≠0， 所以 (α，α)>0

所以 λ^2 = 1

所以 λ = ±1

即正交矩阵的特征值只能是1或-1。

注意

正交矩阵的最基本置换是换位(transposition)，通过交换单位矩阵的两行得到。任何n×n置换矩阵都可以构造为最多n1次换位的积。构造自非零向量v的Householder反射，这里的分子是对称矩阵，而分母是v的平方量的一个数。

这是在垂直于v的超平面上的反射(取负平行于v任何向量分量)。如果v是单位向量，则Q=I2vv就足够了。Householder反射典型的用于同时置零一列的较低部分。任何n×n正交矩阵都可以构造为最多n次这种反射的积。

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